与数学有关的悖论
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蒙提霍尔问题（三门问题）
假设你在参加某个电视节目比赛。
你会看见三扇关闭的门，
- 其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车；
- 另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中有山羊的门空手而归。
你选定了一扇门，但未开启它，随后节目主持人蒙提霍尔（Monty Hall）开启了剩下的两扇门中的一扇并且发现后面是一只山羊，此时主持人会给予你重新选择的机会。
此时，场上只有两扇门，一扇后是汽车，一扇后是山羊，你要不要换成另一扇门呢？
- 换？$\frac{1}{2}$？
- 不换？$\frac{1}{2}$？
答案
换后得汽车的概率 $\frac{2}{3}$，不换得汽车的概率 $\frac{1}{3}$，不是直觉上的 $\frac{1}{2} : \frac{1}{2}$
分析过程
- 初始选中汽车概率 $\frac{1}{3}$
- 主持人开启剩下的任意一扇山羊门（二选一）
- 换后得汽车概率：$0$ （换后只有山羊）
- 不换得汽车概率：$1$
- 初始选中山羊概率 $\frac{2}{3}$
- 主持人开启剩下的任意一扇山羊门（实则主持人只能打开剩下的非汽车的那一扇山羊门）
- 换后得汽车概率：$1$
- 不换得汽车概率：$0$
综上：
- 换后得汽车概率 $\frac{1}{3} \times 0 + \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$
- 不换得汽车概率 $\frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{3} \times 0 = \frac{1}{3}$
朴素的极限分析法
$3$ 扇门使得矛盾并不是体现得特别突出，激化一下条件试试看。
假如有 $100$ 扇门，其中只有 $1$ 扇门后有汽车，其他 $99$ 扇门后是山羊。
- 我们初始时大概率选中的是后面是山羊的门（$\frac{99}{100}$），概率非常接近 1，属于极大概率事件。
- 主持人打开后面是山羊的 $98$ 扇门后，直觉上非常容易感觉到主持人留下来的那扇门后就是汽车。
关键：
主持人【为了保证】打开特定数量的门后【场上仍存在汽车门】，打开门的过程是有意识打开特定的门的，并不是随机打开的。
所以结果不满足能体现随机性的 $\frac{1}{2} : \frac{1}{2}$。
芝诺悖论
源于亚里士多德的《物理学》一书。
在龟兔赛跑中，无疑兔子的移动速度比乌龟快。
- 乌龟被允许率先出发；
- 当兔子起跑时，乌龟已经抵达路途中的某处（姑且称为 A 点）；
- 当兔子抵达 A 点时，乌龟已经抵达稍远的 B 点；
- 当兔子抵达 B 点时，乌龟又已经抵达更远的 C 点；
- ……
尽管兔子不断追赶乌龟，但兔子好像永远追不上乌龟？
模拟
设乌龟速度 $v_1 = 1$，兔子速度 $v_2 = n$，乌龟被允许率先出发 $t$ s。
- 乌龟率先移动了 $t$ 路程抵达 A 点，兔子花了 $\frac{t}{n}$ s 抵达 A 点；
- 此时乌龟又已移动 $\frac{t}{n}$ 路程抵达 B 点，兔子又花 $\frac{t}{n^2}$ 抵达 B 点；
- 此时乌龟又已移动 $\frac{t}{n^2}$ 路程抵达 C 点，兔子又花 $\frac{t}{n^3}$ 抵达 C 点；
- ……
总时间 $T = t + \frac{t}{n} + \frac{t}{n^2} + \frac{t}{n^3} + … + \frac{t}{n^\infty} = \frac{t(1-\frac{1}{n^\infty})}{1-\frac{1}{n}} = \frac{nt(1-\frac{1}{n^\infty})}{n-1} \Rightarrow \frac{nt}{n-1}$
算出无穷累加起来的流逝时间为收敛级数，无限逼近 $\frac{nt}{n-1}$，而实际流逝时间可以达到。与实际相悖，故为悖论。
实际总时间
$$
\begin{align*}
& 兔子路程 = 乌龟路程 \newline
& n(T - t) = T \newline
& T = \frac{nt}{n-1} \newline
\end{align*}
$$